¿Qué es teorema central del limite?

Teorema Central del Límite (TCL)

El Teorema%20Central%20del%20Límite (TCL) es uno de los pilares fundamentales de la teoría de la probabilidad y la estadística. Esencialmente, afirma que la distribución de la suma (o promedio) de un gran número de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), independientemente de la forma de la distribución original, tiende a seguir una distribución normal.

Puntos Clave:

• Suma/Promedio de Variables Aleatorias: El TCL se aplica a la suma o el promedio de variables aleatorias.

• Independencia: Las variables aleatorias deben ser independientes entre sí.

• Distribución Idéntica: Las variables aleatorias deben provenir de la misma distribución.

• Tamaño de Muestra Grande: El TCL funciona mejor cuando el tamaño de la muestra (número de variables aleatorias) es suficientemente grande. No existe un número mágico, pero generalmente se considera que n > 30 es un buen punto de partida, aunque esto puede variar dependiendo de la forma de la distribución original.

• Convergencia a la Normal: A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución de la suma/promedio se aproxima a una Distribución%20Normal.

Formalmente:

Sea X₁, X₂, ..., X_n un conjunto de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ². Entonces, la variable aleatoria:

Z = (X̄ - μ) / (σ / √n)

donde X̄ es la media muestral, se aproxima a una distribución normal estándar (con media 0 y varianza 1) a medida que n tiende a infinito.

Implicaciones y Usos:

El TCL tiene amplias aplicaciones en estadística inferencial, incluyendo:

• Construcción de Intervalos de Confianza: Permite construir Intervalos%20de%20Confianza para la media poblacional.

• Pruebas de Hipótesis: Se utiliza en Pruebas%20de%20Hipótesis para determinar si hay evidencia suficiente para rechazar una hipótesis nula sobre la media poblacional.

• Modelado Estadístico: Facilita la modelización de fenómenos complejos donde se combinan múltiples factores aleatorios.

Limitaciones:

• Independencia y Distribución Idéntica: La violación de estas condiciones puede afectar la validez del TCL.

• Tamaño de Muestra: Para distribuciones altamente no normales, un tamaño de muestra significativamente mayor puede ser necesario para que la aproximación normal sea precisa.